Adaugat la: 16 Aprilie 2021 Ora: 15:14

Tainele rațiunii și veșmântul matematic al universului

Pentru alpiniști, marinari, salvamontiști sau speologi nodurile sunt instrumente prețioase de lucru. În multe dintre situațiile pe care aceștia le întâlnesc, știința de a face nodul potrivit se dovedește a fi esențială, uneori decisivă pentru supraviețuire. O explorare rapidă ne oferă o gamă întreagă de noduri, utilizate într-o serie întreagă de activități: noduri marinărești, noduri folosite în alpinism și în expedițiile speologilor, în operațiunile de salvare sau în camping, în aranjamente decorative, dar și nodurile de la încălțări. Toate aceste activități îşi au tipurile lor de noduri, fiecare cu o anumită rezistență și complexitate.

De exemplu, în categoria nodurilor marinărești există unele foarte vechi, chiar din perioada vechilor egipteni, de pildă nodul scota, sau nodul pescăresc (care leagă două frânghii diferite), a cărui primă descriere datează, se pare, din 1834.1

MATEMATICA NODURILOR

Primele preocupări matematice referitoare la noduri au apărut după ce s-a înțeles că nodurile pot fi studiate sistematic, potrivit unor criterii de ordonare precise.2 Matematicienii intrați în jocul nodurilor au încercat să răspundă, pe baza unor demonstrații riguroase, la câteva întrebări firești, dezvoltând ceea ce se numește astăzi teoria nodurilor. Iată câteva întrebări: este un nod cu adevărat înnodat? Îl putem deznoda fără să tăiem sfoara din care este făcut? Date fiind două noduri, putem spune dacă putem să ajungem de la unul la celălalt fără să tăiem sfoara? Putem determina reguli care să asigure un răspuns corect la întrebări de acest fel?3

 Cu timpul, matematicienii au integrat această preocupare pentru noduri într-un domeniu mai vast, numit topologie4. Practic, topologia oferă posibilitatea unor descrieri geometrice a nodurilor, condițiile adecvate pentru analiza proiecției nodurilor pe anumită suprafață (diagrame), dar și studiul unor procese precum deformarea nodurilor, tăierea sau deznodarea lor. Nu după mult timp au apărut și primele rezultate notabile. Mai întâi au fost identificate procedeele de clasificare a nodurilor după aranjamentele tuturor încrucișărilor posibile, efectuate cu firul de sfoară. Astfel, fiecărui aranjament de încrucișări ale inelului de sfoară (exprimat printr-un polinom), îi corespunde un anumit nod, prin urmare la polinoame diferite corespund noduri diferite. De asemenea, a fost formulată o metodă de a „deznoda” nodurile prin tăierea sforii și prin lipirea capetelor exact în locul în care sfoara a fost tăiată, după ce firul tăiat e trecut pe deasupra sau pe dedesubtul porțiunii din sfoara cu care era înnodat. În fine, o descoperire neașteptată a legat și mai strâns teoria nodurilor de teritoriul solid al matematicii printr-o conexiune surprinzătoare între un anumit areal al algebrei și teoria nodurilor.5

NODURILE VIEȚII

La prima vedere, deși nodurile sunt elemente cât se poate de concrete, care își dovedesc utilitatea în cele mai neașteptate situații, ele par să țină mai degrabă de teritoriul jocului, de spațiul ludic, decât de viața reală. Totuși, câteva rezultate de-a dreptul surprinzătoare au scos la iveală faptul că nodurile prezintă legături strânse cu anumite aspecte din universul înconjurător. Astăzi putem spune cu sigu-ranță că, cel puțin în câteva arii majore ale cercetării, teoria nodurilor, care își poate dovedi cu ușurință caracterul teoretic, se leagă strâns de câteva aspecte profunde ale realității fizice.

Primul aspect vizează cărămizile vieții, întrucât teoria nodurilor pare să aibă rădăcini adânci în însăși mecanismele celulelor vii. Este bine cunoscut faptul că, atunci când celulele se divid, intervine un mecanism de copiere (transcriere) a informației, pentru ca noile celule să păstreze un material genetic identic. În procedeul de transcriere a informației genetice în noua celulă, spirala dublă a ADN-ului celular se desface6, unul dintre brațe constituind chiar suportul pe care noua celulă îşi construiește propriul ADN. Ei bine, mecanismele prin care legăturile moleculelor (abordate ca noduri) se dezleagă, pentru a permite transferul informației în celula nouă, se regăsesc în procedeele de dezlegare a nodurilor din teoria matematică! În funcție de structura lor, proteinele însărcinate să rupă anumite legături, pentru a permite replicarea ADN-ului, își găsesc corespondențe în meniul structurilor topologice descrise în matematică.7

URME MATEMATICE ÎN ABISUL CUANTIC

Cea de a doua aplicație neașteptată a teoriei nodurilor este legată de teoria corzilor, încercarea frecvent pomenită astăzi de a împăca teoria gravitației și mecanica cuantică. Prin contribuția unui strălucit matematician, Ed Witten, a fost descoperită o relație neașteptată între structurile matematice din teoria nodurilor și teoria cuantică a câmpului.8 Mai mult, rezultatele obţinute în urma aplicării celor două teorii certifică faptul că acestea „trăiesc în simbioză”, în așa fel încât „teoria corzilor a beneficiat de rezultatele din teoria nodurilor”, iar „teoria corzilor a condus la noi descoperiri în teoria nodurilor”.9

Câtă vreme o teorie cuantică a gravitației întârzie să apară, chestiunile sunt încă în stadiul de explorare. Însă prin joncțiunea neașteptată dintre teoria matematică și cea fizică a ieșit la iveală o altă situație extraordinară în câmpul cunoașterii. Cei care au construit, în cuprinsul teoriei matematice, polinoamele asociate nodurilor au exprimat o dată cu ele, fără să știe, chestiuni importante, care țin, surpriză!, de dinamica descrisă în ecuațiile lui Einstein privitoare la gravitație.10

Între timp au apărut și alte aplicații ale teoriei nodurilor, care dovedesc o stranie legătură între jocul topologic desfășurat în cuprinsul teoretic al matematicii și caracteristicile profunde ale universului și ale vieții. În afara rezultatelor pomenite sumar aici, referitoare la ADN și la gravitația cuantică, sunt deja consemnate contribuții ale teoriei nodurilor în studierea anumitor specii de pești, a lanțurilor de polimeri sau în arhitectura rețelelor de cabluri telefonice.11 Rezultate ca acestea întăresc ideea matematicienilor potrivit căreia nodurile sunt construcții de bază, concepte indispensabile, precum cercul, definind în esență o relație fundamentală între anumite cantități.12 Ele scot la iveală legăturile extraordinare dintre construcțiile topologice referitoare la anumite corpuri existente în macrocosmos și unele aspecte subtile, existente în microcosmos, în constituenții fundamentali ai lumii fizice sau în arhitectura cărămizilor esențiale ale vieții.13

INTUIȚIILE MINȚII ȘI PROGRESUL CUNOAȘTERII

În general, multe progrese majore în fizica secolului XX au fost făcute pe baza unor intuiții profunde, născute în planul conceptelor și al construcțiilor teoretice, uneori prin calcul matematic, alteori printr-o uimitoare credință în valabilitatea anumitor simetrii. Intuițiile acestea, cu expresiile lor mai mult sau mai puțin elaborate, au intrat adesea în circulație mai înainte ca vreun experiment să le confere validitate. Intuițiile, construcțiile teoretice ale matematicienilor sau ale fizicienilor, lipsite la început de lumina observațiilor sau a datelor experimentale, i-au împins pe aceștia să afirme lucruri noi, care s-au dovedit a fi corecte mai târziu.

Leonard Susskind, de exemplu, analizând câteva situații din istoria științei, trece în revistă unele din marile rezultate ale fizicii care au fost posibile prin eforturi teoretice, deci fără o contribuție experimentală semnificativă.

Un prim exemplu oferit de el se referă la proprietățile luminii. Teoria matematică arăta, în secolul al XIX-lea, că energia totală din radiația corpului negru este infinită. Energia stocată cu fiecare lungime de undă individuală ieşea ca fiind finită, dar, odată însumate lungimile de undă, rezultatul indica o cantitate infinită de energie în lungimile de undă foarte scurte („catastrofa ultravioletă”). Chestiunea va fi rezolvată prin intermediul cuantificării energiilor fotonului, introducând cantități discrete de energie corespunzătoare fiecărui foton. Însă pentru rezultatul acesta, zice Susskind, „niciun experiment din secolul XX nu a jucat vreun rol”.14

Multe alte rezultate ale teoreticienilor par să fi jucat un rol determinant în reprezentările atomului, în mecanica cuantică, în relativitatea generală (în care crucial a fost experimentul mental al lui Einstein) sau în dezvoltarea electrodinamicii cuantice (motivată de dorința lui Dirac de a armoniza relativitatea restrânsă și mecanica cuantică).15 Un astfel de rezultat, de pildă, este ideea lui Pauli de a caracteriza electronii prin intermediul unui principiu de excluziune (care consfințește faptul că electronii nu pot ocupa aceeași stare cuantică, fiind dispuşi doar câte doi pe fiecare orbital, unul cu spinul orientat în sus și altul în jos), dar și ideea existenței unor particule cu masa identică cu a electronului, însă de sarcină opusă (formulată de Dirac).16

Leondard Susskind crede că dovezi de acest fel pot fi considerate ca fiind argumente în favoarea ideii că cei ce împing granițele explorării lumii sunt teoreticienii. Mintea omului e „motorul” principal al cunoașterii, şi în aria fizicii şi în cosmologie. Iar eficacitatea acestui mod de cunoaștere se întemeiază pe uimitoarea compatibilitate dintre minte și realitatea înconjurătoare. Astfel încât, creditând formele și structurile văzute cu mintea, cercetătorii au pășit mai departe, în pofida faptului că validarea experimentală nu era luată în calcul.17.

Ce ar mai putea fi spus după toate aceste exemple? Că astfel de situații provoacă în lumea savanților dezbateri cu referire la unele întrebări răscolitoare, privind deopotrivă structura fizică ultimă a universului în care trăim, natura vieții, dar și actul cunoașterii, cu puterea decisivă a minții omenești de a elabora construcții și concepte matematice pe care le dezvoltă potrivit unor algoritmuri bine alese.

FENOMENOLOGIE, TEOLOGIE ȘI MISTERUL MATEMATICII

Câtă vreme în centrul discuțiilor stau aceste întâlniri surprinzătoare dintre conceptele minții omenești și structurile ascunse ale microcosmosului și ale vieții, este ușor de înțeles că reflecția matematicienilor, a celor care analizează îngemănarea tainică dintre minte și realitate, aduce în discuție însăși constituția anatomică și fiziologică a receptivității omenești și, la modul profund, structurile fenomenologice puse în mișcare de activitatea întregului aparat perceptiv și de reprezentare mentală a realității sesizate, care stă ascuns în spatele oricărui eveniment ştiinţific.

Preocuparea celor care analizează toate aceste date sfârșește prin formularea uneia dintre cele mai cuprinzătoare și provocatoare probleme ale cunoașterii, care face referire la matematică. În fond, care este natura realității matematice? Care este legătura ei cu mintea omenească, pe de o parte, și cu realitatea înconjurătoare pe de altă parte? „Are matematica o existență independentă de existenţa minții umane?”, se întreabă Mario Livio. „De ce pot fi aplicate conceptele matematice mult dincolo de contextul în care au fost inițial elaborate?”18 Subsecvent, întrebările acestea angajează și o altă problemă: matematica este un dat sau mai degrabă o invenție a minții omenești? Dacă este un dat, în ce cuprins al realității stă depozitată și cum își are ea rădăcinile înfipte în realitatea înconjurătoare? Dacă este o invenție, revine în atenție întrebarea formulată de-a lungul întregului articol: cum se explică eficacitatea extraordinară a acestor concepte în descrierea realității fizice?  

Este semnificativ, în fine, faptul că teologia vede cuprinse în adevărul că toate au fost făcute prin Fiul lui Dumnezeu, Logos-ul, și rațiunea omului și ordinea lumii și capacitatea omului de a le sesiza, în chip distinct, dar legate între ele. Înțelegerea teologiei merge însă şi mai departe. Părintele Stăniloae afirmă că imboldul cunoașterii sădite în om și dorința de explorare sunt semnul că Dumnezeu Însuși vrea de la noi să înțelegem „gândurile Lui, puse în lucruri, și cuvântul pe care ni l-a adresat în ele sau ni-l adresează prin situațiile noi în care suntem puși”19. Astfel, științele care caută să desfacă fenomenele lumii fizice, să sesizeze alcătuirea, să numească diferitele lor forme și ordinea lor, pentru a captura aspectele matematizabile, pot fi un capitol de teologie practică. „Dumnezeu așteaptă ca omul să descopere nesfârșitele gânduri ale Sale, puse în lucruri, și să exprime în cuvintele lui cât mai multe din indefinitele înțelesuri pe care voiește ca omul să le aşeze în lucrurile create pentru el.”20

Note:

1. Am utilizat, pentru acest paragraf, informații existente în www.noduri.ro, unde sunt clasificate și exemplificate multe dintre nodurile frecvent utilizate în ariile pe care le-am menționat.
2. Mario Livio, Este Dumnezeu matematician?, Editura Humanitas, București, 2011, p. 225.
3Cf. Eric W. Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, 1999, CRC Press, 1999, p. 999.
4. Topologia reprezintă o arie a matematicii care are în vedere proprietățile care rămân neschimbate după deformările continue ale obiectelor.
5. Este vorba despre Vaughan F. R. Jones, „A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras”, în Bulletin of the American Mathematical Society, (New Series) vol. 12, nr. 1 (1985), pp. 103-111.
6. Cantitatea de informație depozitată într-o spirală ADN este impresionantă. Ea ar putea fi ilustrată prin scrierea, în ritm alert, a unor serii de 60 de cuvinte pe minut, timp de opt ore pe zi, vreme de aproape cincizeci de ani! Dacă toate legăturile existente în ADN ar fi desfășurate, într-o configurație liniară, lanțul molecular ar atinge o lungime de 1,7 metri. Mecanismele de „împachetare moleculară” a informației asigură, cum se vede, depozitarea întregului material genetic, decisiv pentru viață, într-un volum cu mult mai mic decât o celulă! (Cf. Human Genome Facts,[online] http://www.colorado.edu/Outreach/BSI/pdfs/genome_facts.pdf).
7. Analogia aceasta procură de fapt o metodă topologică, așadarmatematică, pentru aplicații înenzimologie (Cf. Jeny Tompkins, „Modeling DNA with Knot Theory: An Introduction”, [online]: http://www.rose-hulman.edu/mathjournal/archives/2006/vol7-n1/paper13/v7n1-13pd.pdf).
8. Mario Livio, Este Dumnezeu matematician?, p. 239.
9Ibidem, p. 239.
10Cf. Encyclopedia of Mathematical Physics, vol. 3, Jean Pierre Francoise (editor), Gregory L. Naber (editor), Tsou Sheung Tsun (editor), Academic Press/Elsevier,Oxford, England, 2006, p. 220.
11Cf. Kunio Murasugi, Knot Theory and Its Application, Birkhauser, 1996, Boston. Titlul este, de altfel, o excelentă introducere în temă. Cartea este disponibilă și online, în întregime, la adresa http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/murasug3.pdf.
12Cf. Dan Silver, “Knot theory’s odd origins”, în rev. American Scientist  vol. 94, nr. 2, 2006, pp. 158–165, sau [online], în http://www.southalabama.edu/mathstat/personal_pages/silver/scottish.pdf.
13Cf. Encyclopedia of Mathematical Physics, p. 220.
14Cf. Leonard Susskind, Peisajul cosmic. Teoria corzilor și iluzia unui plan inteligent, Editura Humanitas, 2012, p. 303.
15Ibidem.
16Ibidem, pp. 304-308.
17Ibidem, p. 309.
18. Mario Livio, Este Dumnezeu matematician, p. 249.
19. Pr. Dumitru Stăniloae, Teologie Dogmatică Ortodoxă, vol. II, Editura IBMBOR, București, 1997, p. 243.
20Ibidem.
Publicatia Mitropoliei Ortodoxe Romane a Europei Occidentale si Meridionale

Publicatia Mitropoliei Ortodoxe Romane a Europei Occidentale si Meridionale

Site-ul www.apostolia.eu este finanţat de GUVERNUL ROMÂNIEI - Departamentul pentru Românii de Pretutindeni

Conținutul acestui website nu reprezintă poziția oficială a Departamentului pentru Românii de Pretutindeni

Departamentul pentru rom창nii de pretutindeni